みなさん、こんにちは!

石田です。

突然ですが、素数をしっかり理解できていますか?

中学生になってすぐに習う素数ですが、みなさんしっかり理解できていますか?

高校生になっても、大学生になって、大人になっても素数はあなたの身の回りに存在して助けてくれます。

今日はそんな素数についてのおさらいと、みなさんが苦手とする約数の導き方を解説します。

そもそも素数ってなんだ?

さっそく本題に入りますが、素数ってそもそもどんな数字のことでしょうか?

特に覚えてほしいことは以下の3つになります。

素数とは…

  • 1とその自身のほかに約数が無い正の数字
  • 素数になる数字は奇数になる
  • 0と1は素数にならない

1とその自身のほかに約数が無い正の数字

それではそれぞれ解説をしていきましょう。

素数とは1とその自身のほかに約数が無い数字のことを指します。

簡単な言い方をすると、1とその数字以外では割り切れない数字になります。

例えば、1の次は2、3、5、7、9、11、13…と続いていきますがそれぞれの数字と1以外では割れないですよね。

100までの素数を覚えておくと便利ですよ。

念のために表にまとめておきますのでご活用ください。

素数になる数字は奇数になる。

これは上の並んだ数字を見てもわかるように

全て奇数になっているはずです。

これは偶数はどの数字も2で割ることができてしまうからです。

最後に0と1は素数にならない。

理由を少し考えてみましょう。

まず0は正の整数ではないからです。

理由はこれだけ。素数は正の数字のみになります。

次に1が素数にならない理由ですが、もし1が素数に入ってしまうとどんな数字も3つ以上で割り切れてしまいますので素数になりません。

そもそも1と自身の数で割り切れる数なので、1を素数としてしまうと手間が増えてしまいます。

以上の3点をしっかり理解できたら次は実際に活用をしてみましょう。

素因数分解をしてみよう!

数学が苦手な人はこれを聞くだけでも、もう気分が下向きになりますよね。笑

でも大丈夫です。この記事を最後までしっかり読んでくれた方は数学の墓場から必ず助け出します。

頑張って取り組んでみましょう。

本題に戻りますが、素因数分解とは自然数を素因数の積の形で表すこと。になります。

全然わからない。数学の勉強をしているはずなのに漢字でつまずいてしまうわこんな言葉!

ポイントはある自然数を全部素数になるまで素数で割り続けましょうということ。

例えば180を素因数分解しなさい。という問題であれば、こんな式になります。

手順は180を最小の素数で割り続けていくことです。

最初にで割る。すると90になるからこれをまた2で割る。45になると2では割れないから次の小さい数字3で割る。

15を3で割ると5が残った。これ以上は小さい素数にできないので計算終了です。

素因数分解を活用した問題を解いてみよう

では実際に素因数分解を用いて問題を解いてみましょう。

問題

63にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の2乗になるようにします。どんな数をかけるとよいでしょうか?

手順1

63を素因数分解する。

そうすると 63= 3 2 x7になるはずです。

ここで注目するのが3には累乗があるのに、7には無い。この累乗を合わせる作業をしましょう。

手順2

32 x7 に7を掛ける。そうすると答えが 212 となります。

計算式はこうなります。

( 32 x7 )x7= 32 x72 = ( 3 2 x7 ) =212

答え、7をかけると21の2乗になる

問題に悩んだ時は何度も読み返してくださいね。

素因数分解と約数

上記の素因数分解ができるようになれば、約数の出し方は簡単です。

ではさっそく解いていきましょう!

問題

45の約数を求めなさい。

手順1 45を素因数分解する。

素因数分解すると 45=32 x5

この 32 x5 を使って約数を求めます。

表にすると分かりやすいですよ。

横列を1と3,2乗の解である9を書きます。

縦列は累乗のない数字1と5を記入します。

これを100マス計算のようにかけていくと 1,3,9,5,15,45という6つの数字が出てきます。

これが45の約数になります。とても簡単!

もっと大きな数字が出てきた時にも役に立つのでぜひ覚えておいてくださいね!

こんな所にも!?素数の使われている場所

ここまでお疲れさまでした。

素数についての理解は深められたでしょうか?

中にはこんな人もいるはず…。

「素数なんて受験以外に何に使うんだよ」

ありがとうございます。めちゃくちゃ使います。普段の買い物からパソコンの中まで世の中は素数に溢れています。

そんな例を1つ紹介しましょう。

夏になると朝から思い切り鳴くセミ。彼らは鳥などの天敵から身を守るために、ある素数の周期で生まれてくるものがいるそうです。

種類によって異なるのですが、13年セミや17年セミというそうです。

どういうことか?図にまとめてみました。

これは13年周期で生まれるセミと3,4年ごとに大量に出現する天敵を周期でまとめたものです。

325年間で12回しか危険な時期がありません。笑

でもこれは非常に優秀な生存本能ですよね。このように自然の中にも素数は隠れているよ、という小話でした。

まとめ

いかがでしょうか?

言葉だけ聞くと取り組みにくい素数と素因数分解。実はこんなに簡単なものでした。

中2、中3と学年が進んでも必ず使うものですし、なにより計算が楽になる方法です。

しっかりと復習しておきましょう!

それでは!

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