みなさん、こんにちは！
スパイア石田です。 x2+y2
今回は乗法公式の覚え方や使い方などをわかりやすく解説していきます。
覚え方も簡単なので今のうちに覚えてしまいましょう！
中学校3年生では乗法公式（多項式の展開公式）を習います。これは簡単な『（一次の多項式）×（一次の多項式）』を瞬時に計算するための公式です。
たとえば、
(x+3)(x+2)(x+3)(x+2)、(x+5) 2 (x+5) 2 、(x−2) 2 (x−2) 2 、(x+6)(x−6)(x+6)(x−6)
などを簡単に展開することができます。
式が長くなれば長くなる数学嫌いの人にこそ、この公式を覚えてもらいたい！
今回は乗法公式の覚え方や使い方などをわかりやすく解説していきます。
ぶっちゃけ覚えなくてもいいし、気合いでできるよって人もいると思いますが、
公式を覚えてた方が段違いで楽になります。
(a＋b)(c＋d)=ac ＋ ad ＋ bc ＋ bdがなぜ成り立つか？
まずは分配法則からおさらいしましょう。
この分配法則を踏まえたうえで、話を進めていきます。
多項式a＋bと多項式c＋dをかける時、それぞれカッコをつけて (a＋b)(c＋d) という形で表します。
(a＋b) x (c＋d)の x (かける) が省かれた形です。
(a＋b)(c＋d) の計算は、c＋dを文字Nに置き換えると次のような分配法則を使って計算できます。
※Nに置き換えるのは式を簡単に理解するためです！
(a＋b)(c＋d)
=(a＋b) N
=aN＋bN
=a(c＋d)＋b(c＋d)
=ac＋ad＋bc＋bd
このように、単項式や多項式のかけ算の式を、かっこを外して単項式の足し算の形で表すことを
はじめの式を展開すると言います。
先ほどの式の変形によって、次の公式が成り立ちます。
以下が基本の公式となります。
4つの乗法公式は成り立つか？
乗法公式とは、式を展開する時の代表的な公式のことを指します。
今回は4つの公式を紹介します。先ほどの基本の公式があれば簡単に答えが出せるようになりますよ！
乗法公式①
(x＋a)(x＋b)= x 2 ＋(a＋b)x＋ab
では先ほどの基本の公式に当てはめてみましょう。
上の図に代入できましたか？
では順番に計算してみましょう。
(x＋a)(x＋b)
= x 2 ＋bx＋ax＋ab
= x 2 ＋(a＋b) x ＋ab
→同類項でまとめてあげよう！
乗法公式②
(x＋a) 2 =x 2 ＋2ax＋a 2
↑2 x a ↑a x a
今回は2乗、つまり(x＋a)同士かける必要があるので、(x＋a)(x＋a)の形にします。
(x＋a) 2
=(x＋a)（x＋a)
= x 2 ＋ax＋ ax ＋a 2
=x 2 ＋2ax＋a 2
乗法公式③
(x＋a) 2 =x 2 ＋2ax＋a 2
次はカッコの中の符号がマイナスになったパターンです。
先ほどと同様に(x-a)(x-a)の形に展開します。
(x – a) 2
=(x – a)（x – a)
= x 2 – ax – ax ＋a 2
=x 2 – 2ax＋a 2
乗法公式④
(x＋a)(x-a)=x 2 -a 2
いよいよ最後の公式になります。ここまで慣れてきた皆さんであればもう簡単に解けるはずです。
かけ算は並べ替えても成り立つ、交換法則があるので次の式も成り立ちます。
(x＋a)(x-a)=x 2 -a 2
＝x 2 – ax ＋ax – a 2
↑打消しになって消去される
=x 2 – a 2
まとめ
いかがでしょうか？
それぞれ、乗法公式は、式を展開する時の基本になります。
また、因数分解を理解するためにも覚えておいた方が良いかと思います。
それでは！